В рамках основных положений реформы математического образования и
обучения математике по Стандартам, разработанным в 1989 г., в США
регулярно проводятся национальные и международные обследования
уровня математической подготовки американских школьников.

Остановимся на результатах некоторых последних широкомасштабных
исследований в этой области. В 1992 году Национальным центром по
образовательной статистике (NCES – National Center for Educational
Statistics) США было проведено обследование американских школьников на
предмет сформированности у них умений решать задачи. Обследованием
было охвачено около 10 тыс. школ из различных штатов и 250.000
школьников разных ступеней обучения: начальной (1-5 классы), средней (6-
8 классы) и старшей (9-12 классы). Было проверено и обработано около 4
млн. письменных работ школьников [1].

Надо отметить, что до появления математического Стандарта-89, в
американской школьной математике доминировал тестовый подход к
оценке знаний и умений учащихся. В основном, использовались тесты с
выбором ответа из предложенных 4-5 вариантов, для выполнения которых
не требовалось приводить решение задачи. Согласно Стандарту-89

рекомендуется широкое внедрение в школьную математику альтернативных
систем оценки учебных достижений, одной из которых является, привычное
для российского школьника, решение задач с подробным описанием хода
решения. Для американских школьников это явилось, мягко говоря,
несколько необычным занятием.

В целом, результаты Обследования-92 выглядят достаточно удручающе:
? только 42% четырехклассников, 53% восьмиклассников и 40%
двенадцатикласников справились с простейшими задачами, в которых
требовалось привести краткое решение;
? в задачах с более сложным решением и его обоснованием наблюдается
форменный провал: лишь 16% четырехклассников, 8%
восьмиклассников и 9% двенадцатиклассников смогли представить
более или менее удовлетворительные решения;
? от 1/3 до 2/3 всех учащихся продемонстрировали заведомо слабое
понимание сути и условия задач (о чём ярко свидетельствует
приведенный выше пример с «возрастом пастуха»);
? 25% учащихся просто решили оставить свои листы для ответов –
чистыми, даже без малейших попыток решения;
? большинство из тех, кто решил предложенные задачи, испытывал явное

затруднение в обосновании решений;
? наблюдались статистически значимые различия среди школьников по
некоторым демографическим показателям: так достижения белых
учащихся были гораздо выше результатов, показанных афро-
американцами и испанцами; достижения городских школьников выше,
чем сельских; достижения учащихся из частных школ выше, чем
государственных [1].

В то же время, результаты обследования подчеркнули преимущество задач
перед тестами в аспекте информационной ёмкости результатов (измерения
не только уровня заний, но и уровня сформированности умений решать
задач, обоснования хода решения, понимания смысла математических
терминов и процедур,…).

Приведём конкретные результаты уровня математической подготовки
американских школьников по различным темам курса математики. По теме
«Числа и операции над ними» учащимся 4 и 8 классов была предложена
следующая задача: «Джил хочет заработать 45 долларов на школьную
загороднюю поездку. Она зарабатывает 2 доллара в день по
понедельникам, вторникам и средам, а по четвергам, пятницам и субботам

– 3 доллара в день. В воскресенье Джил не работает. Сколько недель ей
потребуется проработать, чтобы получить 45 долларов на поездку?» (Ответ:
3 недели)

Правильно решили эту задачу – 22% четырехклассников и 59%
восьмиклассников. Отдельные цифры по регионам выглядят следующим
образом: учащиеся из северовосточных штатов (Нью Йорк, Нью Хемпшир,
Массачусетс, Пенсильвания, Коннектикут и др.) – 28% (четырехклассники) и
59% (восьмиклассники) правильных ответов; из юговосточных штатов
(Флорида, Джорджия, Алабама, Южная Каролина и т.д.) – соответственно
16% и 53%; из центральных штатов (Огайо, Индиана, Мичиган, Иллинойс,
Висконсин и др.) – 22% и 63%; из западных (Вашингтон, Орегон, Айдахо,
Невада и т.д.) – 23% и 61% соответственно. Белые школьники (26%
четырехклассники и 65% восьмиклассники) показали выше результаты, чем
их афро-американские (соответственно 11% и 37%) и испанские (13% и 51%
соответственно) сверстники.

Следующая задача по теме «Измерения»: «На листочке в клетку
нарисовать прямоугольник с площадью 12 квадратных единиц (если 1
клетка – 1 квадратная единица)». Количество правильных ответов: 4-х

классники – 42%, 8-ми классники – 66%.

Вероятностная задача: «Стив вытаскивает наугад два шара из коробки, в
которой перемешаны белые и синие шары. Первая попытка Стива дала
следующий результат: сначала он вытащил белый шар, а затем – синий. Он
записал этот результат в таблицу. Перечислить остальные возможные
результаты испытаний».

Ответ:

Правильные ответы по вероятностной задаче распределились следующим
образом: 4-х классники – 24%, 8-ми классники – 59%.

Задача по геометрии для восьмиклассников: «На рисунке (рис. 1) показаны
3 различных сечения цилиндра. Под каждым цилиндром записать название
фигуры, которая лежит в сечении».

Процент правильных ответов: 48%.

Следующая статистическо-геометрическая задача ввела американских
восьмиклассников в явное заблуждение: только 8% (!?) школьников привели
правильное решение. Условие задачи: «США с каждым годом «производит»
все больше мусора.

Что-то «неладно» на этой диаграмме (рис. 2). Объяснить, что именно?»

Один из возможных вариантов ответа: «На диаграмме цилиндрический
мусорный бак в 1980 г. увеличен вдвое как по высоте, так и по радиусу.
Тогда как по весу мусора (80 млн.т – в 1960 г. и 160 млн.т – в 1980 г.)
должна быть удвоена только высота. В противном случае (по размеру бака
на диаграмме) мы должны были бы получить 640 млн.т мусора в 1980 г.».

Задача на измерение для 12-ти классников: «На рисунке (рис. 3) точка А
зафиксирована в положении (0; 6), а точка В, первоначально находящаяся в
положении (4; 0), движется по оси (Ох) в направлении начала координат. По
мере движения точки В соответственно изменяется и площадь треугольника
АОВ. Учитывая это, заполнить таблицу зависимости площади треугольника
от абсциссы точки В».

Ответ: 12, 9, 6, 3, 0.

С этой задачей справились 29% американских старшеклассников. На
примере этой задачи явно заметна разница между достижениями белых
школьников (33% правильных ответов) и их черных сверстников (12%
правильных ответов). А также между достижениями старшеклассников из
северовосточных (38%) и юговосточных (20%) штатов, как впрочем и между
результатами учащихся частных (42%) и государственных школ (27%).

Приведём пример ещё одной задачи на геометрические измерения для
старшеклассников: «Найти, с точностью до единиц, площадь
параллелограмма по данным, представленным на рисунке (рис. 4)».